EJERCICIOS MAXIMIZACION, MINIMIZACION

En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Para hacernos una idea más clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos



Ejemplo 1: Problema de máximos


En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 quetzales. y cada saco de  a 800 quetzales. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos?


Ejemplo 2: Problemas de mínimos


Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures.
Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de limón es de Q 30  y Q. 20  uno de fresa
.

En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar, podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales.



Planteamientos

1)Si designamos por x al número de sacos de pienso de clase P y por y el número de sacos de pienso de clase que se han de vender, la función:        Z = 300x + 800y  representará la cantidad de quetzales obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar.
Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener las restricciones:

 

kg de A

kg de B

P

x

8x

2x

Q

y

10y

5y

 

 

<!--[if !vml]-->80

<!--[if !vml]-->25

Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x <!--[if !vml]-->0, y <!--[if !vml]-->0
Conjunto de restricciones:

8x + 10y <!--[if !vml]-->80

2x + 5y <!--[if !vml]-->25

x <!--[if !vml]-->0, y <!--[if !vml]-->0

2)Si representamos por x el número de yogures de limón y el número de yogures de fresa con Y, se tiene que la función de coste es Z = 30x + 20y              

Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:

  • De número : x + y <!--[if !vml]-->80
  • De fermentación: 0.5x + 0.2y <!--[if !vml]-->9000
  • Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x <!--[if !vml]-->0, y <!--[if !vml]-->0

Conjunto de restricciones:

x + y <!--[if !vml]-->80

0.5x + 0.2y <!--[if !vml]-->9000

x <!--[if !vml]-->0, y <!--[if !vml]-->0

 


En definitiva:

  

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a:
una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales
.

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